輥筒直徑與負載能力的匹配計算是輸送系統設計的關鍵環節，需綜合考慮材料強度、結構剛度及實際工況。以下是系統化的計算方法和工程實踐指南：
---
### **一、基礎理論公式**
輥筒的負載能力主要由其抗彎強度決定，核心計算公式如下：
#### **1. 最大允許彎曲應力**
[
sigma_{ ext{max}} = rac{M_{ ext{max}}}{Z} leq [sigma]
]
- (sigma_{ ext{max}})：輥筒表面最大彎曲應力（MPa）
- (M_{ ext{max}})：輥筒承受的最大彎矩（N·mm）
- (Z)：截面模量（mm3），實心輥筒 (Z = rac{pi d^3}{32})，空心輥筒 (Z = rac{pi (d^4 - d_i^4)}{32d})
- ([sigma])：材料許用應力（MPa），通常取材料屈服強度的50%~70%（安全系數1.5~2）
#### **2. 最大彎矩計算**
[
M_{ ext{max}} = rac{F cdot L}{8} quad ( ext{均布載荷，兩端簡支})
]
- (F)：總負載（N）
- (L)：輥筒支撐跨距（mm）
#### **3. 臨界撓度限制**
[
delta_{ ext{max}} = rac{5 F L^3}{384 E I} leq [delta]
]
- (delta_{ ext{max}})：輥筒最大撓度（mm）
- (E)：材料彈性模量（鋼：210 GPa，鋁：70 GPa）
- (I)：慣性矩（mm?），實心輥筒 (I = rac{pi d^4}{64})，空心輥筒 (I = rac{pi (d^4 - d_i^4)}{64})
- ([delta])：許用撓度，通常取 (L/1000 sim L/500)
---
### **二、分步計算流程**
#### **步驟1：確定設計參數**
| **參數** | **示例值** | **說明** |
|----------------|--------------------------|-----------------------------|
| 負載 (F) | 5000 N (≈500 kg) | 單輥筒需承載的總力（含動載系數） |
| 跨距 (L) | 1200 mm | 兩軸承支撐點間距 |
| 材料許用應力 ([sigma]) | 100 MPa（Q235鋼） | 安全系數取1.5（屈服強度235 MPa）|
| 許用撓度 ([delta]) | 1.2 mm ((L/1000)) | 高精度場景需更嚴格限制 |
#### **步驟2：試選輥筒直徑**
假設選擇 **實心鋼輥筒**，初定直徑 (d = 50 , ext{mm})：
- 截面模量 (Z = rac{pi imes 50^3}{32} pprox 12272 , ext{mm}^3)
- 彎矩 (M_{ ext{max}} = rac{5000 imes 1200}{8} = 750000 , ext{N·mm})
- 計算應力 (sigma_{ ext{max}} = rac{750000}{12272} pprox 61.1 , ext{MPa} < [sigma] = 100 , ext{MPa}) **（滿足強度）**
#### **步驟3：驗證撓度**
- 慣性矩 (I = rac{pi imes 50^4}{64} pprox 306796 , ext{mm}^4)
- 撓度 (delta_{ ext{max}} = rac{5 imes 5000 imes 1200^3}{384 imes 210000 imes 306796} pprox 0.84 , ext{mm} < [delta] = 1.2 , ext{mm}) **（滿足剛度）**
#### **步驟4：調整優化**
- 若應力或撓度超標，可：
- **增大直徑**（快速提升 (Z) 和 (I)，但增加重量和成本）；
- **縮短跨距**（顯著降低 (M_{ ext{max}}) 和 (delta_{ ext{max}})）；
- **改用空心輥筒**（保持剛度同時減輕重量，慣性矩 (I) 需重新計算）。
---
### **三、關鍵影響因素與修正**
#### **1. 負載分布類型**
- **集中載荷**：最大彎矩 (M_{ ext{max}} = rac{F cdot L}{4})（應力比均布載荷高一倍）
**修正公式**：(sigma_{ ext{max}} = rac{F cdot L}{4 Z})
#### **2. 動態工況系數**
- 沖擊載荷：(F_{ ext{動態}} = F_{ ext{靜態}} imes K_v)
- 輕沖擊 (K_v = 1.1 sim 1.3)（如紙箱輸送）
- 重沖擊 (K_v = 1.5 sim 2.0)（如金屬件跌落）
#### **3. 材料選擇對比**
| **材料** | 彈性模量 (E) (GPa) | 密度 (kg/m3) | 適用場景 |
|------------|---------------------|--------------|----------------------------|
| 碳鋼（Q235）| 210 | 7850 | 通用重載，成本低 |
| 不銹鋼（304）| 193 | 8000 | 耐腐蝕環境，強度略低 |
| 鋁合金（6061）| 70 | 2700 | 輕量化需求，負載能力較低 |
| 工程塑料（POM）| 3 | 1400 | 輕載、低噪音、耐化學腐蝕 |
---
### **四、工程速查表（實心鋼輥筒參考）**
| **直徑 (d) (mm)** | **許用負載 (F) (kg)**（跨距 (L=1000 , ext{mm})，安全系數1.5） | **最大撓度 (delta_{ ext{max}}) (mm)** |
|---------------------|---------------------------------------------------|------------------------------------------|
| 30 | 150 | 1.8 |
| 50 | 600 | 0.7 |
| 76（3英寸） | 1800 | 0.3 |
| 100 | 3500 | 0.15 |
---
### **五、實際案例**
#### **案例：汽車裝配線輥筒選型**
- **需求**：輸送發動機（單重300kg），輥筒跨距800mm，轉速20r/min
- **計算**：
1. 動態系數 (K_v = 1.2) → (F = 300 imes 9.8 imes 1.2 pprox 3528 , ext{N})
2. 試選 (d=60 , ext{mm}) 實心鋼輥筒：
- (Z = rac{pi imes 60^3}{32} pprox 21206 , ext{mm}^3)
- (sigma_{ ext{max}} = rac{3528 imes 800}{8 imes 21206} pprox 16.6 , ext{MPa} ll [sigma] = 100 , ext{MPa})
- 撓度 (delta_{ ext{max}} = 0.23 , ext{mm} < L/1000 = 0.8 , ext{mm})
**結論**：直徑60mm輥筒強度與剛度均富余，可優化為 **空心輥筒（壁厚8mm）** 以減重30%。
---
### **六、總結與建議**
1. **設計優先級**：
- 先按 **強度公式** 確定最小直徑，再校核 **撓度**；
- 高轉速場景需額外計算 **臨界轉速**（避免共振）。
2. **經濟性權衡**：
- 負載＜500kg：優先選擇標準直徑（50~76mm）碳鋼輥筒；
- 負載＞1噸：建議使用加厚壁空心輥筒或定制合金輥筒。
3. **仿真驗證**：
- 使用有限元分析（FEA）軟件（如ANSYS）模擬應力分布，優化結構。
**最終公式簡化**：
[
d_{ ext{min}} = sqrt[3]{ rac{32 F L}{8 pi [sigma]}} quad ( ext{實心輥筒均布載荷})
]
通過以上方法，可系統化匹配輥筒直徑與負載能力，確保輸送系統安全高效運行。